પ્રકરણ 6: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ (Integers)
6.1 પ્રસ્તાવિક (Introduction)
સુનિતાની મમ્મી પાસે 8 કેળાં છે. સુનિતા તેના મિત્રો સાથે બહાર ફરવા જવાની છે. તે પોતાની સાથે 10 કેળાં લઈ જવા માંગે છે. તો શું એની મમ્મી એને 10 કેળાં આપી શકે છે? તેની પાસે પૂરતાં કેળાં નથી; તેથી તે તેના પાડોશી પાસેથી 2 કેળાં ઉછીના લઈ તેને પરત કરી દેવાનું જણાવે છે.
સુનિતાને 10 કેળાં આપ્યાં પછી તેની મમ્મી પાસે કેટલાં કેળાં બચશે? કે તેની પાસે એક પણ કેળું બાકી વધ્યું નથી એવું આપણે કહી શકીએ? હા, તેની પાસે એક પણ કેળું બચ્યું નથી, પરંતુ તેને તેના પાડોશીને 2 કેળાં પાછાં આપવાનાં છે, તેથી જ્યારે પણ એની પાસે વધુ કેળાં હશે, જેમકે 6 કેળાં હોય તો તે 2 પાછા આપશે તેની પાસે ફક્ત 4 કેળાં વધશે.
રોનાલ્ડ એક પેન ખરીદવા માટે બજારમાં જાય છે. તેની પાસે ફક્ત 12 રૂપિયા છે, પરંતુ પેનની કિંમત 15 રૂપિયા છે. દુકાનદાર તેને તે પેન આપે છે અને યાદ રાખવા માટે દુકાનદાર આ 3 રૂપિયા ડાયરીમાં લખે છે. પરંતુ દુકાનદાર કેવી રીતે યાદ રાખશે કે રોનાલ્ડ પાસેથી જ 3 રૂપિયા લેવાના છે અથવા તેને આપવાના છે? શું આ ઉધારને તે કોઈ રંગ અથવા ચિહ્ન દ્વારા રજૂ કરી શકે છે?
રુચિકા અને સલમાની રમત:
રુચિકા અને સલમા એક સંખ્યારેખાનો ઉપયોગ કરીને રમત રમી રહ્યા છે, જેમાં 0 થી 25 સુધી સમાન અંતરાલો જોવા મળે છે. શરૂઆતમાં બંને શૂન્ય અંક પર એક-એક રંગીન ટોકન મૂકે છે.
- જો પાસાં પરનો રંગ લાલ હોય તો તેને ફેંકતા જે સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, એ ટોકનને તેટલાં સ્થાન આગળ (જમણી બાજુ) ખસેડવામાં આવે છે.
- જો પાસો વાદળી રંગનો હોય, તો તેને ફેંક્યા પછી જે સંખ્યા પ્રાપ્ત થાય છે, એ ટોકનને તેટલાં સ્થાન પાછળ (ડાબી બાજુ) કરી દેવામાં આવે છે.
આ રમતમાં શૂન્યની પાછળ જવાની જરૂરિયાત ઊભી થાય છે ત્યારે ઋણ ચિહ્ન (-) નો ખ્યાલ આવે છે.
શૂન્ય કરતાં નાની સંખ્યા તરફ જવા માટે ચિહ્નનો ઉપયોગ કરવો આવશ્યક છે, માટે તે સંખ્યાની આગળ ઋણ (-)ની નિશાનીનો ઉપયોગ કરે છે. આ ચિહ્ન સૂચવે છે કે ઋણ (-) સંકેત સાથેની સંખ્યા શૂન્ય કરતાં નાની અથવા ઓછી છે. આ સંખ્યાને ઋણ સંખ્યા (negative number) કહેવામાં આવે છે.
6.2 પૂર્ણાંક (Integers)
સૌથી પહેલાં શોધવામાં આવેલી પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓ એટલે કે 1, 2, 3, 4... જો આપણે પ્રાકૃતિક સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં શૂન્યનો સમાવેશ કરીએ છીએ તો આપણને સંખ્યાઓનો એક નવો સંગ્રહ મળે છે, જેને પૂર્ણ સંખ્યાઓ કહે છે (0, 1, 2, 3...).
હવે, આપણે પૂર્ણ સંખ્યાઓના સંગ્રહમાં ઋણ સંખ્યાઓ ઉમેરીએ, તો એક નવો સંગ્રહ ...-5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5... મળે. સંખ્યાઓના આવા સંગ્રહને પૂર્ણાંકો કહે છે. આ સંગ્રહમાં 1, 2, 3, 4... ધન પૂર્ણાંક અને -1, -2, -3... ઋણ પૂર્ણાંક કહેવાય.
6.2.1 સંખ્યારેખા પર પૂર્ણાંકોનું નિરૂપણ
એક રેખા દોરો. તેના પર સમાન અંતરે બિંદુઓ અંકિત કરો. એક બિંદુને શૂન્ય (0) આપો.
- શૂન્યની જમણી બાજુ ધન પૂર્ણાંકો (+1, +2, +3...) હોય છે.
- શૂન્યની ડાબી બાજુ ઋણ પૂર્ણાંકો (-1, -2, -3...) હોય છે.
ઉદાહરણ તરીકે: -6 દર્શાવવા માટે શૂન્યથી 6 એકમ ડાબી બાજુ ખસવું પડે.
6.2.2 પૂર્ણાંકોમાં ક્રમબદ્ધતા (Ordering of Integers)
રમણ અને ઈમરાન કૂવાના પગથિયાંનું ઉદાહરણ લે છે. જમીનની સપાટીને 0 લેવલ ગણે છે. શૂન્યથી નીચેના પગથિયાં ઋણ સંખ્યા (-1, -2, -3...) વડે દર્શાવાય છે.
આપણે જાણીએ છીએ કે સંખ્યારેખા પર જમણી બાજુએ જઈએ છીએ તેમ સંખ્યા વધે છે અને ડાબી બાજુ જઈએ તેમ સંખ્યા ઘટતી જાય છે.
- દરેક ધન પૂર્ણાંકો દરેક ઋણ પૂર્ણાંક કરતાં મોટા છે.
- શૂન્ય દરેક ધન પૂર્ણાંકો કરતાં નાનો છે.
- શૂન્ય એ ઋણ પૂર્ણાંકો કરતાં મોટો છે.
- શૂન્યની જમણી બાજુ જેમ દૂર જઈએ તેમ સંખ્યા મોટી થાય છે.
- શૂન્યની ડાબી બાજુ જેમ દૂર જઈએ તેમ સંખ્યા નાની થાય છે.
સ્વાધ્યાય 6.1
1. નીચે આપેલાં પદોના વિરુદ્ધ પદો લખો :
- (a) વજનમાં વધારો -> વજનમાં ઘટાડો
- (b) 30 કિમી ઉત્તરમાં -> 30 કિમી દક્ષિણમાં
- (c) 80 મી પૂર્વમાં -> 80 મી પશ્ચિમમાં
- (d) 700 રૂપિયાનું નુકસાન -> 700 રૂપિયાનો નફો
- (e) દરિયાની સપાટીથી 100 મીટર ઉપર -> દરિયાની સપાટીથી 100 મીટર નીચે
2. નીચેની સંખ્યાઓને યોગ્ય સંકેતો સાથે પૂર્ણાંકો તરીકે દર્શાવો :
- (a) વિમાન જમીનથી 2000 મીટર ઉપર: +2000
- (b) સબમરીન દરિયાની સપાટીથી 800 મીટર નીચે: -800
- (c) ખાતામાં ₹ 200 જમા: +200
- (d) ખાતામાંથી ₹ 700 નો ઉપાડ: -700
5. તાપમાનની યાદી (પૂર્ણાંક સ્વરૂપે):
| સ્થળ | તાપમાન | પૂર્ણાંક |
|---|---|---|
| સિયાચિન | 0°C થી 10°C નીચું | -10°C |
| શિમલા | 0°C થી 2°C નીચું | -2°C |
| અમદાવાદ | 0°C થી 30°C ઊંચું | +30°C |
| દિલ્લી | 0°C થી 20°C ઊંચું | +20°C |
| શ્રીનગર | 0°C થી 5°C નીચું | -5°C |
6.3 પૂર્ણાંકોનો સરવાળો (Addition of Integers)
સંખ્યારેખા પર સરવાળો કરવાના નિયમો:
- ધન પૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે આપણે સંખ્યારેખા પર જમણી તરફ વધીએ છીએ.
- ઋણ પૂર્ણાંક ઉમેરવા માટે આપણે ડાબી તરફ આગળ વધીએ છીએ.
ઉદાહરણ:
1. (+3) + (+2) = +5 (બે ધન પૂર્ણાંકનો સરવાળો ધન મળે).
2. (-2) + (-1) = -3 (બે ઋણ પૂર્ણાંકનો સરવાળો ઋણ મળે).
3. (+4) + (-3) = +1 (એક ધન અને એક ઋણ હોય તો બાદબાકી થાય અને મોટા પૂર્ણાંકનું ચિહ્ન આવે).
સ્વાધ્યાય 6.2
1. સંખ્યારેખાનો ઉપયોગ કરીને પૂર્ણાંક લખો:
- (a) 5 માં 3 ઉમેરતાં: 5 થી જમણી બાજુ 3 ડગલાં = 8
- (b) (-5) માં 5 ઉમેરતાં: -5 થી જમણી બાજુ 5 ડગલાં = 0
- (c) 2 માંથી 6 બાદ કરતાં: 2 થી ડાબી બાજુ 6 ડગલાં = -4
- (d) -2 માંથી 3 બાદ કરતાં: -2 થી ડાબી બાજુ 3 ડગલાં = -5
3. સંખ્યારેખાના ઉપયોગ વગર સરવાળો કરો:
- (a) 11 + (-7) = 4
- (b) (-13) + (+18) = 5
- (c) (-10) + (+19) = 9
- (d) (-250) + (+150) = -100
6.4 પૂર્ણાંકોની બાદબાકી (Subtraction of Integers)
બાદબાકી એટલે વિરોધી સંખ્યા ઉમેરવી.
ઉદાહરણ તરીકે: 6 - (-2) નો અર્થ થાય છે 6 માં (-2) ની વિરોધી સંખ્યા ઉમેરવી.
-2 ની વિરોધી સંખ્યા +2 છે.
તેથી, 6 - (-2) = 6 + 2 = 8.
નિયમ: એક પૂર્ણાંકમાંથી બીજા પૂર્ણાંકની બાદબાકી કરવા તે પૂર્ણાંકની વિરોધી સંખ્યાને ઉમેરવી.
સ્વાધ્યાય 6.3
1. શોધો:
- (a) 35 - (20) = 15
- (b) 72 - (90) = 72 + (-90) = -18
- (c) (-15) - (-18) = (-15) + 18 = 3
- (d) (-20) - (13) = -33
- (e) 23 - (-12) = 23 + 12 = 35
આપણે શું ચર્ચા કરી? (Summary)
- ઋણ ચિહ્નોવાળી સંખ્યાઓની આપણને જરૂર પડતી હોય છે (જેમ કે તાપમાન, ઉધાર ખાતું).
- સંખ્યાઓના સમૂહ ...-3, -2, -1, 0, 1, 2, 3... ને પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ કહે છે.
- સંખ્યારેખા પર જમણી બાજુ જતાં સંખ્યા મોટી અને ડાબી બાજુ જતાં નાની થાય છે.
- જ્યારે બે સમાન ચિહ્ન હોય ત્યારે સરવાળો કરી તે જ ચિહ્ન મૂકો.
- જ્યારે અસમાન ચિહ્ન હોય ત્યારે બાદબાકી કરી મોટી સંખ્યાનું ચિહ્ન મૂકો.
- પૂર્ણાંકની બાદબાકી તેની વિરોધી સંખ્યાના સરવાળા જેટલી છે.
--- પ્રકરણ સમાપ્ત ---
પ્રકરણ 6: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
(Purnank Sankhyao)
સમજૂતી આધારિત મૂલ્યાંકન
- ઋણ સંખ્યાઓની સંકલ્પના અને જરૂરિયાત સમજવી.
- સંખ્યારેખા પર પૂર્ણાંકોનું નિરૂપણ અને સરખામણી.
- પૂર્ણાંક સંખ્યાઓના સરવાળા અને બાદબાકી કરવા.
👇 નીચે આપેલ ક્વિઝ રમો અને તમારી સમજ ચકાસો!
ગણિત ક્વિઝ: પૂર્ણાંક સંખ્યાઓ
અધ્યયન નિષ્પત્તિ આધારિત મૂલ્યાંકન
🎥 આ પ્રકરણની સંપૂર્ણ વિડિયો સમજૂતી જુઓ
શું તમને કોઈ દાખલામાં તકલીફ છે? તો ચિંતા ન કરો! ઉપરના વિડિયોમાં સ્ટેપ-બાય-સ્ટેપ સમજૂતી જુઓ.
Watch on YouTube
0 Comments